← Ко всем темам
🔢 Системы счисления
Переводы между 2, 8, 10, 16, сравнение и двоичная арифметика. Это гарантированные баллы на каждом экзамене.
1. Что нужно понять
Любое число = сумма цифр, умноженных на степени основания. Для (N)b:
(N)b = cₙ·bⁿ + … + c₁·b¹ + c₀·b⁰ + c₋₁·b⁻¹ + c₋₂·b⁻² + …
Цифры основания b идут от 0 до b−1. В 16-ричной: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
2. Переводы — правила и примеры
A. Из основания b → в 10 (полином)
Умножаешь каждую цифру на степень основания по её позиции и складываешь.
(6B)₁₆ = 6·16¹ + 11·16⁰ = 96 + 11 = 107
(101,1)₂ = 1·4 + 0·2 + 1·1 + 1·0,5 = 5,5
B. Из 10 → в основание b (деление + умножение)
Целая часть — делишь на
b, остатки читаешь
снизу вверх.
Дробная часть — умножаешь на
b, целые части читаешь
сверху вниз.
53,40625 → 2:
53:2=26 ост.1 0,40625·2=0,8125 → 0
26:2=13 ост.0 0,8125 ·2=1,625 → 1
13:2=6 ост.1 0,625 ·2=1,25 → 1
6 :2=3 ост.0 0,25 ·2=0,5 → 0
3 :2=1 ост.1 0,5 ·2=1,0 → 1
1 :2=0 ост.1
целая=110101 дробная=01101
⇒ (110101,01101)₂
⚠️ Некоторые дроби (напр. 23,7) в двоичную не переводятся точно — получается бесконечная дробь. Пиши приближённо.
C. Между 2 ↔ 8 ↔ 16 (по группам бит)
8=2³ → группы по
3 бита.
16=2⁴ → группы по
4 бита. Группируй
от запятой влево и вправо, добивая нулями.
(110 111 010 001,100)₂ = (6721,4)₈
(1011 1111 1000,1101)₂ = (BF8,D)₁₆
| 16 | 2 | 16 | 2 |
|---|
| 0 | 0000 | 8 | 1000 |
| 1 | 0001 | 9 | 1001 |
| 2 | 0010 | A | 1010 |
| 3 | 0011 | B | 1011 |
| 4 | 0100 | C | 1100 |
| 5 | 0101 | D | 1101 |
| 6 | 0110 | E | 1110 |
| 7 | 0111 | F | 1111 |
3. 🧪 Калькулятор с пошаговым решением
Введи число, выбери основания — покажу перевод по шагам (как надо писать на экзамене).
здесь появится решение…
4. ✍️ Задачи (проверь себя)
Реши в столбик, впиши ответ (дробь через запятую) и нажми «Проверить». Регистр и пробелы не важны.
5. Двоичная арифметика
Правила:
0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (1 в уме); вычитание — с займом.
11101 + 101110 −
101011 100101
─────── ───────
1001000 1001 (29+43=72; 46−37=9)