← Все темы  ·  ⬇ Материалы

🔢 Системы счисления

Переводы между 2, 8, 10, 16, сравнение и двоичная арифметика. Это гарантированные баллы на каждом экзамене.

1. Что нужно понять

Любое число = сумма цифр, умноженных на степени основания. Для (N)b:

(N)b = cₙ·bⁿ + … + c₁·b¹ + c₀·b⁰ + c₋₁·b⁻¹ + c₋₂·b⁻² + …

Цифры основания b идут от 0 до b−1. В 16-ричной: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

2. Переводы — правила и примеры

A. Из основания b → в 10 (полином)

Умножаешь каждую цифру на степень основания по её позиции и складываешь.
(6B)₁₆ = 6·16¹ + 11·16⁰ = 96 + 11 = 107 (101,1)₂ = 1·4 + 0·2 + 1·1 + 1·0,5 = 5,5

B. Из 10 → в основание b (деление + умножение)

Целая часть — делишь на b, остатки читаешь снизу вверх.
Дробная часть — умножаешь на b, целые части читаешь сверху вниз.
53,40625 → 2: 53:2=26 ост.1 0,40625·2=0,8125 → 0 26:2=13 ост.0 0,8125 ·2=1,625 → 1 13:2=6 ост.1 0,625 ·2=1,25 → 1 6 :2=3 ост.0 0,25 ·2=0,5 → 0 3 :2=1 ост.1 0,5 ·2=1,0 → 1 1 :2=0 ост.1 целая=110101 дробная=01101 ⇒ (110101,01101)₂
⚠️ Некоторые дроби (напр. 23,7) в двоичную не переводятся точно — получается бесконечная дробь. Пиши приближённо.

C. Между 2 ↔ 8 ↔ 16 (по группам бит)

8=2³ → группы по 3 бита. 16=2⁴ → группы по 4 бита. Группируй от запятой влево и вправо, добивая нулями.
(110 111 010 001,100)₂ = (6721,4)₈ (1011 1111 1000,1101)₂ = (BF8,D)₁₆
162162
0000081000
1000191001
20010A1010
30011B1011
40100C1100
50101D1101
60110E1110
70111F1111

3. 📖 Теория про системы (это тоже спрашивают!)

Допустимые цифры

В системе с основанием b цифры идут от 0 до b−1. Поэтому:
• Цифра 8 НЕ принадлежит восьмеричной (макс цифра = 7) → утверждение «8 в 8-ричной» = Ложь • Запись (321)ₓ возможна только если x > 3 (есть цифра 3) → x ≥ 4

Наибольшая цифра и наибольшее число

Наибольшая цифра = b−1. Наибольшее k-значное число — это повтор (b−1).
Наибольшее трёхзначное в 16-ричной = (FFF)₁₆

Число цифр системы = основание b

«Чётное число цифр» → b чётное. «Без цифры 5» → цифра 5 появляется при b ≥ 6, значит b ≤ 5.
2024: основания с чётным числом цифр И без цифры 5 → b чётное и b≤5 → 2 и 4

Позиционные и непозиционные

В позиционной значение цифры зависит от её места (2, 8, 10, 16 — позиционные). Римская система — непозиционная (VII: значение не зависит от позиции так же).

Чётность числа (N)ₓ

Число чётно ⇔ его десятичное значение чётно. Удобно посчитать значение многочленом.
2025: (321)ₓ = 3x²+2x+1, допустимо x ≥ 4 (есть цифра 3). x=4 → 57 (нечёт), x=5 → 86 (чёт), x=8 → 209 (нечёт) ⇒ чётно только при x = 5
Быстрое правило: в чётном основании чётность определяет последняя цифра; в нечётном — сумма всех цифр (как делимость на 3 в десятичной).

4. 🧪 Калькулятор с пошаговым решением

Введи число, выбери основания — покажу перевод по шагам (как надо писать на экзамене).

здесь появится решение…

5. ✍️ Задачи (проверь себя)

Реши в столбик, впиши ответ (дробь через запятую) и нажми «Проверить». Регистр и пробелы не важны.

6. Двоичная арифметика

Правила: 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10 (1 в уме); вычитание — с займом.
11101 + 101110 − 101011 100101 ─────── ─────── 1001000 1001 (29+43=72; 46−37=9)

7. 📖 Представление чисел: прямой / обратный код (только 2020)

Иногда (в варианте 2020) число записывают в прямом или обратном коде на k битах:
• Прямой код: старший бит — знак (0=плюс, 1=минус), остальное — модуль числа. • Обратный код отрицательного числа: знаковый бит =1, остальные биты модуля ИНВЕРТИРОВАНЫ. • Дополнительный код = обратный + 1.
Пример (2020): N на 16 бит — записать в двоичной, затем в обратном коде (инверсия позиций 0–14, знак на позиции 15).

8. 📚 Все вопросы с экзаменов (системы счисления)

Задание про системы счисления из каждого года. Попробуй, потом раскрой ответ (сверено с бареме).

2025, вариант 2

а) При каком основании x число (321)ₓ чётно: 2, 3, 4, 5, 8?
b) Поставь знаки <,>,= и переведи числа.

► решение

2024, вариант 1

а) Все основания с чётным числом цифр и без цифры 5.
b) Дополни отношения и переведи числа.

► решение

2024, вариант 2

а) Наибольшее трёхзначное число в основании 16.
b) Расставь в порядке убывания: (1101111,101)₂, (157,7)₈, (110,75)₁₀, (6F,C)₁₆.

► решение

2022

а) Расставь по убыванию: (172,2)₈, (122,5)₁₀, (6A,2)₁₆.
b) Римская система — позиционная? Цифра 8 в восьмеричной?

► решение

2020, вариант 1

c) X = (1101011)₂ — записать в 16-ричной и десятичной. (a, b — про коды чисел, см. раздел 7)

► решение

2020, вариант 2

а) (583,42)ₓ — в какой системе запись верна: 2, 8, 16?
b) (1100110,01)₂ → в десятичную и восьмеричную.

► решение